Assonometria con ombre di un cono e di un segmento verticale

Quale è la maniera più rigorosa di rappresentare in assonometria un cono? E come si proietta l'ombra di un segmento verticale sulle falde di esso? Questi sono i due quesiti fondamentali a cui tenteremo di dare una risposta con lo svolgimento di questo esercizio.
Ti consiglio di seguire tutto lo svolgimento del disegno attraverso l'osservazione di tutte le immagini contenute in sequenza nel file pdf scaricabile, poiché alcune parti del disegno non vengono riportate fino alle ultime immagini.
In questo caso dunque rappresenteremo innanzitutto in assonometria isometrica un cono e successivamente applicheremo le metodologie della teoria delle ombre in assonometria per rappresentare l'ombra del cono medesimo (propria e proiettata su XY) e l'ombra di un segmento verticale (posto molto vicino al cono) da quest'ultimo proiettata in parte sulla falda del cono medesimo ed in parte sul piano assonometrico XY.
Dopo aver disegnato il sistema assonometrico con gli assi ed il triangolo delle tracce, ribalteremo il piano assonometrico XY sul quadro in modo da disegnare in vera grandezza la base circolare del cono, individuando (C), di coordinate Xc e Yc, ovvero il centro della base sul piano assonometrico XY ribaltato ed il raggio r (passo 4/37 del pdf multipagina).
In tal modo si crea una corrispondenza omologica (omologia di ribaltamento), con la traccia Tx-Ty che corrisponde all'asse di tale omologia e con un centro C1 posto all'infinito nella direzione perpendicolare all'asse medesimo. Attraverso tale corrispondenza omologica riporteremo facilmente la base circolare del cono ribaltata sul quadro sul piano XY in assonometria. Potremo ricostruire tale base circolare attraverso la rappresentazione del quadrato nel quale è inscritta. I punti corrispondenti dovranno essere, per le proprietà dell'omologia di ribaltamento, sempre allineati con il centro, in questo caso C1. Inoltre, se il quadrato che contiene la base circolare rappresentato su XY ribaltato presenta i suoi lati paralleli agli assi X e Y ribaltati, allora il corrispondente quadrato in assonometria dovrà avere i suoi lati paralleli agli assi assonometrici X e Y. Ad esempio il lato di vertici (E)-(B) parallelo all'asse ribaltato Y, passante da (O) e Ty, avrà come lato corrispondente in assonometria il segmento di vertici E-B, che deve risultare parallelo all'asse assonometrico Y (passo 8/37).
Come si sa, in una rappresentazione assonometrica un cerchio non appartenente ad un piano parallelo al quadro assonometrico, si trasforma sempre in una ellisse: in questo caso individueremo gli estremi degli assi minore e maggiore di tale ellisse, ovvero i punti T, R, P, K, corrispondenti dei vertici (T), (R), (P), (K) sul cerchio ribaltato, utilizzando le rette r ed s e le corrispondenti omologiche (r) ed (s) passanti da tali vertici ribaltati. Ricordo che in una corrispondenza omologica rette corrispondenti si incontrano sempre sull'asse, come del resto avviene anche in questo caso, ad esempio la retta ribaltata (s) incontra sull'asse dell'omologia (nel nostro caso passante da Tx e Ty) la retta corrispondente s (passo 10/37). Dopo aver individuato gli assi, è possibile disegnare l'ellisse che rappresenta la base del cono in assonometria.
Potremo a questo punto individuare, sulla verticale passante per il centro della base, il vertice V del cono, ad una altezza h (scelta in questo caso a piacere) dal centro C (passo 12/37). I bordi della falda del cono saranno due rette alle quali apparterranno i due tratti che ci interessano; questi avranno come estremi lo stesso vertice V e i due punti di tangenza con la base rappresentata in assonometria dalla ellisse precedentemente disegnata. Per trovare i due punti di tangenza dobbiamo prima di tutto individuare la proiezione V* del vertice V sul piano assonometrico XY, individuata dalle coordinate Xv* e Yv*, riportare tale punto sul piano XY ribaltato, ovvero (V*), e applicare il semplice metodo per trovare le tangenti ad un cerchio passanti per un punto dato. Nel nostro caso devono passare per (V*) ed essere tangenti alla base circolare del cono ribaltata sul quadro. Basterà trovare il punto medio M1 tra (C) e (V) e tracciare da esso un arco di raggio M1-(C), il quale intersecherà il cerchio suddetto nei punti (T1) e (T2), che sono proprio i punti di tangenza cercati (passo 18/37). Riporteremo in assonometria questi due punti utilizzando la congiungente passante per i due medesimi che interseca gli assi ribaltati (X) e (Y) nei punti (3) e (4). Tracciando da questi ultimi le perpendicolari alla traccia Tx-Ty individueremo sugli assi assonometrici i corrispondenti punti 3 e 4, da cui passerà la congiungente anzidetta in assonometria (passo 20/37). Basterà tracciare le due perpendicolari a Tx-Ty dai punti (T1) e (T2) fino ad intersecare la congiungente 3-4 per individuare sulla ellisse, ovvero sulla base circolare in vista assonometrica, i due punti cercati T1 e T2. Ora è possibile disegnare correttamente in assonometria i bordi della falda del cono: collegheremo il vertice V con i due punti T1 e T2 appena individuati (passo 22/37).
Questo procedimento non è una inutile complicazione; mi è capitato spesso di vedere degli esercizi simili in cui nella rappresentazione del cono in assonometria i punti di tangenza erano scelti in maniera arbitraria e casuale.
Per trovare l'ombra propria e portata del cono stabiliremo innanzitutto le direzioni fondamentali r1 ed r2 in assonometria, ove per convenzione r1 sarà parallelo alla traccia Tx-Ty (ovvero orizzontale), ed r2 con angolo di 45° rispetto ad r1 (passo 23/37). Per individuare l'ombra del vertice V basterà semplicemente tracciare da V la parallela alla direzione r1 e dal centro C la parallela a r2. Dalla loro intersezione troveremo Vo, ombra di V sul piano assonometrico XY.
A questo punto è necessario individuare i punti di tangenza sull'ellisse dei due segmenti passanti da Vo che rappresentano in assonometria i bordi dell'ombra del cono sul piano XY. Basta individuare innanzitutto (Vo), ovvero l'ombra di V ribaltata sul quadro attraverso l'intersezione della perpendicolare all'asse dell'omologia passante per Vo con la parallela all'asse medesimo passante per il centro (C) ribaltato (passo 25/37). Tracciata la congiungente (Vo)-(C), individueremo su di essa il punto medio M2 dal quale tracciare l'arco che interseca la base circolare ribaltata nei punti (T3) e (T4), che rappresentano proprio i punti di tangenza alla base dei bordi dell'ombra del cono, ribaltati sul quadro. Ovviamente a noi interessa trovare tali punti in assonometria, pertanto disegnando le rette (q) ed (n) passanti per i due punti di tangenza (T3) e (T4), le loro corrispondenti in assonometria dovranno incontrarsi sull'asse con le rette (q) ed (n), ed essere parallele all'asse assonometrico Y. Tracciando infine la perpendicolare da (T3) e (T4), questa intersecherà le rette q ed n nei punti T3 e T4, che sono proprio i punti di tangenza cercati.
Siamo adesso in grado di disegnare i bordi dell'ombra del cono su XY, semplicemente collegando Vo con i suddetti T3 e T4. Inoltre, è possibile individuare immediatamente anche la retta separatrice d'ombra sulla falda del cono, di cui un tratto è rappresentato dal segmento che passa per il vertice V e il punto di tangenza T3. Tale retta rappresenta proprio il limite che separa la parte “illuminata” della falda del cono da quella in ombra (passo 30/37).
Rappresentiamo adesso il segmento verticale di vertice W, coincidente con il piano assonometrico XY, ed il vertice superiore S. L'altezza di tale segmento è stata scelta a piacere, ma comunque maggiore rispetto all'altezza del cono, in maniera tale che l'ombra del suo vertice superiore su XY ricada all'esterno dell'ombra del cono medesimo. Per trovare l'ombra del vertice S, basterà tracciare per esso la parallela a r1 (a 45°) e la parallela ad r, orizzontale; dalla loro intersezione troveremo So, ovvero proprio l'ombra di S sul piano assonometrico YX, La congiungente W-So rappresenta l’ombra di tutto il segmento sullo stesso XY (passo 32/37).
Bisogna però considerare che una parte dell'ombra del segmento su XY, ovvero quella compresa tra i punti P1 (sul bordo della base) ed S1 (sul contorno d’ombra di vertici T3-Vo), si proietterà proprio sulla superficie del cono. Prendendo in considerazione le radiali alla base che convergono verso il centro C dai punti H, H1, K e T3, queste si intersecheranno con l'ombra del segmento W-So nei punti 5, 6, 7 e 8. Tracciando dal punto 5 la verticale fino ad intersecare la congiungente H-V (che appartiene alla superficie del cono) troveremo già il punto 5′, ovvero uno dei punti da cui passa l'ombra del segmento sulla superficie del cono. Analogamente individueremo anche i punti 6′, 7′ e 8′. Per trovare 7′ è stato necessario individuare prima sul piano assonometrico YZ il punto ausiliario 9′, perché la verticale passante per il punto 7 coincide in assonometria con la congiungente K-V (passo 36/37).
La curva passante per P1 e gli anzidetti 5′, 6′, 7′ e 8′, rappresenta in assonometria l'ombra del segmento sulla superficie del cono. Si può osservare che l'andamento di tale curva coincide con un tratto del ramo inferiore di una iperbole, infatti tale curva sulla superficie del cono è generata da un piano passante per il segmento verticale che risulta parallelo all'asse del cono e che interseca proprio la superficie di quest'ultimo (passo 37/37).