Costruzione del pentagono a partire dal lato e col metodo della sezione aurea

Dato il lato di un pentagono, è possibile costruire tutta la figura anche se non è data la circonferenza in cui esso è inscritto.
Il procedimento si basa sull'utilizzo di una nota proprietà del pentagono, conosciuta sin dall'antichità greca, secondo cui il lato di un pentagono e le due distanze (uguali) del vertice diametralmente opposto rispetto ai due vertici del lato medesimo formano un rapporto aureo.
Considerando il disegno riprodotto a fianco, ad esempio, il lato di vertici A,B del pentagono rappresenta la sezione aurea della distanza tra i vertici A e D (oppure B e D) dello stesso poligono.
La costruzione pertanto risulta abbastanza semplice; basta trovare innanzitutto la sezione aurea di AB, applicando la nota costruzione per la sezione aurea di un segmento (vedi esercizio nella stessa sezione), che in questo caso è il segmento di vertici JB, ribaltare questo segmento sul prolungamento di AB per trovare il punto S. Il segmento di ampiezza AS verifica il rapporto aureo con il lato AB; infatti AB rappresenta proprio la sezione aurea di AS.
Pertanto basta tracciare due archi uguali, di raggio AS, facendo centro nei vertici A e B per trovare il vertice opposto D. A questo punto conosciamo già tre dei cinque vertici della figura: gli altri due si individueranno tracciando due archi di raggio uguale al lato centrando su D e su ciascuno dei vertici del lato di partenza, in modo da trovare per intersezione anche i vertici E,C.
Puoi scaricare il file in formato .ggb (geogebra) per seguire tutte le fasi della costruzione in sequenza dall'inizio alla fine del disegno.