Spirale di Archimede

La spirale di Archimede, studiata dal celebre scienziato siracusano da cui prende il nome, è una curva aperta, dallo sviluppo infinito, che si genera a partire da un punto prefissato, che può essere considerato il punto di origine.
Questo tipo di spirale non ha nulla in comune con le curve policentriche aperte, come ad esempio le spirali a quattro o sei centri, la cui costruzione puoi consultare in questa stessa sezione. Essa infatti non è composta da archi di cerchio raccordati, come le già citate curve policentriche aperte, ma è una curva il cui andamento a spirale può essere descritto piuttosto da una equazione polare del tipo r(α)=bα, dove b è semplicemente una costante ed α la misura dell'angolo, che può essere espressa in radianti. Questo vuol dire che il suo sviluppo è espresso da un punto che si muove uniformemente lungo il raggio mentre quest'ultimo ruota (anch'esso uniformemente) attorno ad un punto di origine.
Pertanto, dopo ogni giro completo (2π), ogni spira si distanzierà dalla precedente di una data quantità costante: se ad esempio il raggio avrà compiuto due giri completi, la distanza del punto corrispondente all'angolo di 4π sarà: r(4π) = b(4π).
Ne consegue che la costruzione grafica di una spirale di questo tipo non risulta agevole come nel caso delle policentriche, poiché non è possibile utilizzare il compasso per tracciarle. L'unico modo per descrivere graficamente una spirale archimedea è quello di farne una rappresentazione discontinua, trovando solo un numero limitato di punti che appartengono alla curva; è sempre possibile ottenere una rappresentazione grafica più precisa se aumenta il numero di punti individuati sulla curva procedendo per successiva “raffinazione”.
Il procedimento grafico adottato nel disegno a fianco è forse il metodo più semplice per costruire una spirale archimedea: basta creare una struttura radiale, composta da un certo numero di raggi distribuiti uniformemente lungo tutto l'angolo giro. Nel caso in questione i raggi creano una partizione di 32 settori uguali. A questa partizione radiale si aggiunge un numero uguale di cerchi concentrici, con centro sul punto di origine della spirale, il cui raggio avrà un incremento costante rispetto al cerchio precedente. Per tracciare la curva, basta partire dal punto dato dalla intersezione tra il primo raggio con il cerchio più piccolo e quindi passare alla seconda intersezione tra il raggio adiacente con il cerchio maggiore più prossimo, e proseguire così collegando tutte le successive intersezioni tra raggi e cerchi consecutivi. La curva sembrerà dunque una spezzata, data dall'unione di tanti piccoli segmenti, ma ciascun vertice della curva sarà sempre appartenente alla spirale. Se si vuole una rappresentazione più precisa della spirale, basta aumentare il numero di partizioni radiali e dei cerchi concentrici, conferendo alla spirale medesima un effetto maggiore di continuità.
Puoi scaricare il file .ggb (geogebra) se vuoi seguire tutta la costruzione in sequenza, dall'inizio alla fine del disegno.