Proiezioni ortogonali di un dodecaedro

Il dodecaedro è un solido che fa parte della famiglia dei poliedri regolari, che consta di dodici facce pentagonali equilatere, di trenta spigoli e di venti vertici. La maniera più semplice di rappresentare il solido nelle proiezioni ortogonali è quella di posizionarlo con una faccia poggiante sul PO, in maniera tale che uno degli spigoli della faccia pentagonale di base sia direzionato perpendicolarmente alla LT, come ad esempio si può notare nel disegno a fianco, dove lo spigolo A′B′ risulta appunto perpendicolare alla linea di terra.
Se il solido viene ad assumere questa posizione rispetto ai tre piani principali di proiezione, allora le sue proiezioni ortogonali si semplificano considerevolmente, in particolare perché i vertici di esso sono disposti solo su tre altezze diverse, oltre alla quota zero (coincidente col PO), che sono facilmente individuabili.
Le due facce inferiore (a quota zero) e superiore (a quota massima) sono opposte e parallele al PO; le loro proiezioni sul PO sono pertanto in vera grandezza, inscritte nello stesso cerchio e ruotate di un angolo pari alla metà dell'angolo che sottende ogni spigolo.
Si deve quindi iniziare colla costruzione del solido in prima proiezione, disegnando innanzitutto queste due facce pentagonali opposte e parallele (vedi costruzione del pentagono a partire dal lato, nella sezione relativa al disegno geometrico 2D), in questo modo avremo già individuato la metà dei vertici del dodecaedro. L'altra metà dei vertici appartiene alle facce pentagonali del solido che risultano inclinate e quindi non parallele al PO: basta tracciare dai vertici C′ e D′ due segmenti paralleli rispettivamente ai diametri D′G′ e C′F′, dalla cui intersezione troveremo il vertice K′, appartenente al gruppo dei dieci vertici posti sulle facce inclinate del solido.
Altrettanto facilmente si individuano le altezze fondamentali h1 e h2 (vedi costruzione nel disegno), utili per poter rappresentare il solido sul PV e PL. Puoi seguire più in dettaglio tutto il procedimento scaricando il file pdf, attraverso il quale potrai seguire tutta la sequenza di costruzione del disegno.
Si consideri che tutti i vertici giacciono su una sfera, nella quale il solido risulta inscritto; inoltre, ogni vertice è collegato al vertice opposto da un diametro. Le proiezioni ortogonali del solido ci permettono già di conoscere il diametro della sfera: basta considerare la distanza tra i vertici diametralmente opposti S″ e N″, in proiezione su PV, che rappresenta in vera grandezza proprio un diametro della sfera.