Proiezioni ortogonali di un icosaedro

L'icosaedro è un solido che fa parte della famiglia dei poliedri regolari ed è costituito da venti facce triangolari equilatere, trenta spigoli e dodici vertici. I vertici inoltre sono tutti giacenti su una sfera e ciascuna coppia di vertici opposti giace alle estremità di un diametro della sfera stessa.
L'icosaedro rappresentato nel disegno a lato, assume una posizione tale che uno dei diametri che collega due dei suoi vertici opposti è in posizione verticale. In tale posizione, come già asserito, due vertici opposti si trovano all'estremità del diametro verticale, ovvero il vertice K è poggiante sul PO mentre il vertice C dista da PO ad una altezza pari al diametro della sfera che contiene il solido. Gli altri vertici sono posti ai vertici di due pentagoni (orizzontali) che distano dal centro della sfera di una quantità pari alla metà di h1 (vedi disegno).
Data dunque la particolare posizione del solido, risulta abbastanza semplice il disegno delle sue proiezioni ortogonali; visto nella prima proiezione sul PO, il solido appare come composto da due pentagoni aventi lo stesso centro ed inscritti nello stesso cerchio e reciprocamente ruotati di un angolo pari alla metà dell'angolo (72°) che sottende un lato qualsiasi di questi pentagoni. In prima proiezione inoltre i due vertici C e K, appartenenti al diametro verticale, si rappresentano su PO come coppia di punti coincidenti.
Per trovare in vera grandezza il diametro della sfera che contiene l'icosaedro, basta tracciare un arco da H′ fino alla intersezione con la parallela alla LT passante per P′, facendo centro in Z′. L'arco intersecherà anche la verticale per P′ nel punto J (arco rappresentato in rosso nel disegno). Con questa semplice costruzione abbiamo trovato sia la vera grandezza del diametro della sfera (segmento B′J), sia la misura h1 (segmento P′C1), distanza verticale tra i due pentagoni orizzontali che contengono gli altri vertici del solido. Per seguire in maniera più dettagliata tutte le fasi di costruzione del disegno, puoi scaricare il file .ggb (geogebra).