Proiezioni ortogonali di una cupola geodetica

Una cupola geodetica è sostanzialmente una struttura emisferica il cui modello geometrico tridimensionale è simile ad un solido poliedrico a facce triangolari (di dimensione simili ma non uguali) i cui vertici sono tutti appartenenti alla semisfera che lo circoscrive.
Vi sono diversi metodi per costruire geometricamente un modello di questo tipo, ma forse uno dei più semplici consiste nell'utilizzare l'icosaedro come solido di partenza e di proiettare i punti medi dei suoi spigoli sulla superficie della sfera che lo circoscrive nella direzione dei raggi passanti per il centro di essa e per i punti medi suddetti. Con questo tipo di suddivisione degli spigoli, indicata anche come “frequenza 2V”, ciascuna faccia dell'icosaedro formerà quattro facce triangolari, di cui soltanto la centrale equilatera e le altre tre isosceli.
Il risultato sarà un poliedro emisferico formato da quaranta facce, sessantacinque spigoli e ventisei vertici.
Per seguire con maggior chiarezza tutte le fasi del disegno, ti consiglio di seguire tutti i passaggi visualizzabili attraverso il file pdf multipagina scaricabile.
Costruiamo innanzitutto la prima proiezione completa dell'icosaedro; puoi anche consultare l'apposita esercitazione sulle proiezioni ortogonali dell'icosaedro in questa stessa sezione (sezione 2 -gruppo 2).
Tracciamo centrando in C1 (centro della sfera che circoscrive l'icosaedro) il cerchio diametrale orizzontale della sfera, il cui raggio è uguale alla metà di M-S, che rappresenta proprio il diametro della sfera. Proiettiamo su questo cerchio i punti medi degli spigoli laterali dell'icosaedro che collegano i vertici A, H, B, I, D, L, E, M, F, G. Otterremo i vertici che stanno alla base del modello geodetico (numerati da 1 a 10), cioé sulla sezione diametrale orizzontale, coincidente col PO (vedi passaggio 11/50 del pdf multipagina).
Individuiamo adesso il punto P, medio dello spigolo E-D; esso dovrà trovarsi ad una altezza dal PO uguale a h1/2 (vedi i primi passaggi nel pdf multipagina). Ribaltando P sul PO troveremo (P), che rappresenta anche lo stesso vertice in una vista laterale ribaltata sul PO rispetto ad un piano di sezione verticale passante per P e il centro della sfera. Facendo passare per (P) un raggio della sfera, esso intersecherà il cerchio diametrale nel punto (11) che nella stessa vista laterale ausiliaria rappresenta la proiezione di P sulla sfera nella direzione del raggio passante per esso; ciò è lecito perché il cerchio diametrale coincide anche con la sezione della sfera ribaltata rispetto alla vista laterale scelta (vedi i passi 16-17/50 del multipagina). Proiettando (11) sulla congiungente C′-L′, in direzione normale a quest'ultima, individueremo anche lo stesso vertice in prima proiezione 11′. Sulla vista laterale possiamo anche mettere in evidenza l'altezza h3, ovvero la distanza verticale tra il vertice 11 rispetto al PO. Tracciando dal centro C1 un cerchio passante per 11′, individueremo anche le prime proiezioni dei vertici 12′, 13′, 14′, 15′, del tutto analoghi al vertice 11 perché posti alla stessa altezza rispetto al PO e alla stessa distanza dall'asse verticale passante per il vertice superiore C e il centro della sfera C1.
Ribaltiamo dunque su PO lo spigolo F-C, facendolo ruotare attorno alla sua prima proiezione F′-C′, ottenendo una vista di profilo del solido su un piano ausiliario verticale passante per i vertici C ed F (passo 22-23/50) ed individuiamo su esso il punto medio M3, che verrà proiettato secondo il raggio C1-M3 sul cerchio diametrale per ottenere (16), ovvero il vertice 16 ribaltato su Po secondo la stessa vista di profilo, tenendo sempre presente che il cerchio diametrale nella vista di profilo coincide con la sezione della sfera secondo il piano verticale usato per creare la vista di profilo medesima (passo 24/50).
Proiettando (16) sulla proiezione F′-C′ dello spigolo, nella direzione ortogonale ad esso, si ricaverà lo stesso vertice in prima proiezione 16′ (passo 25/50). Le proiezioni dei vertici 17′, 18′, 19′, 20′, sono del tutto analoghe alla proiezione 16′, perché hanno la stessa altezza da PO (h2) e la stessa distanza dalla proiezione C′.
Abbiamo così ottenuto in prima proiezione tutti i vertici del poliedro geodetico ed inoltre abbiamo anche ricavato durante la costruzione anche le loro altezze rispetto al piano principale PO. Pertanto è possibile ricavare di tali vertici anche le loro proiezioni ortogonali su PV e PL. I collegamenti tra i vertici vanno prima eseguiti in prima proiezione, in modo da evidenziare tutti gli spigoli del modello geodetico nella vista su PO; vanno soltanto dopo eseguiti anche nelle altre due viste, rispettando esattamente gli stessi collegamenti in prima proiezione.