Proiezioni ortogonali di un cono con asse inclinato

Per seguire la presente esercitazione, al fine di comprenderne più facilmente tutto il procedimento, ti consiglio di scaricare il file pdf multipagina e di seguire tutta la sequenza del disegno consultando tale file. Nella spiegazione del presente esercizio si utilizzeranno la varie fasi rappresentate in tale file. Le proiezioni ortogonali di un cono con asse genericamente inclinato rispetto ai piani principali di proiezione PO, PV e PL, presentano alcuni aspetti di carattere teorico e metodologico che ho appunto voluto trattare con la presente esercitazione. Nel caso qui trattato la base del cono appartiene ad un piano α genericamente inclinato rispetto ai tre piani principali e pertanto anche l'asse del cono medesimo sarà genericamente inclinato rispetto ad essi. In questo caso non si prende in considerazione la terza proiezione sul PL del cono. Se il solido in questione sarebbe stato posto con la base direttamente poggiante sul piano principale di proiezione orizzontale PO, le sue proiezioni si sarebbero semplificate notevolmente, perchè le rette che sarebbero state rappresentate in seconda proiezione come bordi della falda sarebbero state tangenti ai punti opposti del diametro della base parallelo alla LT. Nel caso trattato con questa esercitazione, essendo il cono con l'asse inclinato, i punti di tangenza alla base circolare delle due rette che rappresentano i bordi del cono (ovvero i bordi della falda) non appartengono ad un diametro della base e richiedono un procedimento particolare per la loro individuazione.
Iniziamo innanzitutto disegnando le due tracce t′α e t″α, ovvero le due tracce del piano a cui appartiene la base circolare del cono. Si disegni quindi la base ribaltata sul PO, opportunamente posizionata vicino alla prima traccia anzidetta, utilizzando un raggio a piacere per tale cerchio. Introducendo un piano ausiliario di profilo, di tracce t′β e t″β, ortogonale al piano α, potremo agevolmente riportare il cerchio sul piano a cui appartiene (vedi passaggi dal 4/55 al 9/55 del file multipagina); proiettando sulla r′ (data dalla intersezione tra i due piani suddetti) i punti principali diametrali della base, otterremo i punti 1, 2, 3, che riporteremo sulla r ribaltata (r) sul piano orizzontale tracciando tre archi con centro sulla T′r; tali punti diametrali A, B, C, D e il punto O centrale, (contrassegnati con un asterisco sulla r ribaltata) sono stati individuati in prima proiezione tracciando le parallele a r′ e alla traccia t′α da ciascun punto della base ribaltata e da ciascuno punto corrispondente sulla r ribaltata: ad esempio per individuare B′ basta considerare l'intersezione tra la parallela a r′ passante per B ribaltato su PO con la parallela a t′α passante per il corrispondente B* sulla r ribaltata (passo 9/55). Con questo procedimento grafico abbiamo di fatto riportato il cerchio di base del cono nella sua giusta posizione nello spazio, ovvero come appartenente al piano α anzidetto; da un punto di vista squisitamente spaziale, con tale operazione abbiamo fatto ruotare il cerchio attorno alla prima traccia del piano α fino a farlo coincidere con quest'ultimo.
Considerando le rette s e t che coincidono con le diagonali del quadrato che contiene la base circolare ribaltata su PO, possiamo trovare le corrispondenti in prima proiezione s′ e t′ che si incontrerano sulla t′α con (t) ed (s) e passeranno per O′, corrispondente di (O). Ricordo che la notazione con lettera maiuscola tra parentesi tonda indica un punto ribaltato. In tal modo si individueranno i punti sulla base circolare E, F, G, H, in corrispondenza delle intersezioni con le suddette rette s e t, che possono essere riportati in prima proiezione sulle s′ e t′ anzidette tracciando le parallele a t′β≡r′ (passo 12/55). Da questi punti dovrà passare la base circolare del cono, che in prima proiezione si trasformerà in una ellisse.
Si può facilmente trovare la seconda proiezione di tali punti notevoli della base semplicemente riportando le altezze di ciascuno di essi rispetto al piano PO (rilevabili dalla vista di profilo sul piano ribaltato β) sulle verticali passanti per i corrispondenti punti in prima proiezione a partire dalla LT, seguendo il procedimento grafico come esposto nei passi dal 13/55 al 19/55 del pdf multipagina. Da tali punti, dovrà passare il contorno della base circolare del cono nella vista in seconda proiezione sul PV; anche in questo caso la base si trasformerà in una ellisse (passo 20/55).
Utilizzando il piano ausiliario β potremo definire l'altezza h del vertice V del cono, ovvero il punto ribaltato (V), la cui distanza dalla r ribaltata sarà pari ad h. Conducendo la parallela alla t′α fino ad intersecare la congiungente i corrispondenti (O), O′, troveremo la prima proiezione V′ del vertice (passo 22/55).
Individuata la prima proiezione V′ del vertice, si pone adesso il problema di collegare tale punto con la base circolare del cono in prima proiezione; dobbiamo quindi trovare i due punti di tangenza dai quali passeranno le due rette tangenti alla base passanti anche per V′ e che rappresentano proprio il bordo della falda del cono nella prima proiezione sul PO. Il problema si può risolvere se si segue il seguente ragionamento: la rette proiettanti provenienti da C1 posto all'infinito di cui ci serviamo per definire la prima proiezione del solido, che risultano ovviamente parallele tra di esse e perpendicolari al PO, proietterano la sagoma del solido anche sul piano α a cui appartiene la base del solido medesimo; tale sagoma sarà definita da due rette passanti per la proiezione sul piano α del vertice V, contrassegnato come V* nella vista di profilo sulla (r), e dai punti di tangenza che stiamo appunto cercando (vedi passo 23/55). Pertanto se ribaltiamo anche tale punto V* sul piano principale PO, come abbiamo già fatto per la base circolare del cono, potremo trovare i punti di tangenza cercati con la semplice costruzione per la ricerca delle tangenti ad un cerchio passanti per un punto esterno (vedi esercitazione nella relativa sezione “costruzioni 2D”, gruppo 2). Basta dunque tracciare un arco con centro in T′r con raggio T′r-V* per individuare sulla (r′), nella vista sul piano ausiliario di profilo β ribaltato, il punto (V*), come esposto nel passo 24/55. Disegnando quindi la parallela alla t′α da (V*) fino ad intersecare la congiungente (O)-O′, troveremo il punto (V) ribaltato su PO (passo 25/55), ovvero la proiezione di V secondo la direzione dei raggi proiettanti ortogonali a PO, sul piano α e successivamente ribaltata sul PO.
Applicando quindi la suddetta costruzione per la ricerca delle tangenti ad un cerchio per un punto esterno, troveremo i punti (K) e (Q), che sono i punti di tangenza cercati (passo 27/55), ribaltati sul PO. Per trovare la prima proiezione di tali punti K′ e Q′ si eseguirà la semplice costruzione come esposto dal passo 27/55 al 30/55, ovvero servendoci delle parallele alla t′α passanti per K* e Q* coincidenti sulla (r) e delle parallele alla t′β passanti da (Q) e (K).
Collegando V′ con K′ e Q′ avremo correttamente rappresentato il cono in prima proiezione (passo 31/55).
La seconda proiezione V″ del vertice sarà ottenuta dalla intersezione tra la verticale per V′ con la perpendicolare alla t″α (retta coincidente con l'asse del cono in seconda proiezione) passante per O″ (passo 32/55).
Un procedimento del tutto simile a quello già seguito per la ricerca dei punti di tangenza Q e K può essere adottato per la individuazione dei punti di tangenza dei bordi della falda giacenti sulla base circolare del cono in seconda proiezione. In questo caso dovremo considerare la proiezione sul piano α del vertice del cono secondo la direzione dei raggi (o rette) proiettanti provenienti da C2 all'infinito e che risulta ortogonale al PV invece che al PO come nel caso precedente. Osservando il disegno al passo 34/55 constatiamo che la proiezione V1″ di V su α coincide con V″, ovvero con la proiezione del vertice su PV.
Per poter ribaltare tale punto V1 su PO, al fine di trovare i punti di tangenza cercati con lo stesso metodo già usato precedentemente, si considera la retta s1 appartenente ad α e parallela al piano orizzontale PO; tale retta è posta allo stessa altezza del vertice V rispetto al piano orizzontale PO e pertanto su di essa dovrà proiettarsi V (generando V1) secondo la direzione dei raggi proiettanti provenienti da C2 all'infinito ortogonali al PV.
Individuata la prima proiezione di s1, passante per il punto G1′ sulla LT, che deve risultare parallela alla t′α, troveremo all'intersezione tra la r ribaltata (r) con la s1′ il punto (V1) , ovvero la proiezione del vertice V del cono sul piano α nella vista sul piano ausiliario β ribaltato sul piano principale PO (passo 35/55). Adesso è possibile ribaltare tale punto V1 sul PO tracciando semplicemente l'arco di centro T′r con raggio T′r-(V1) fino ad intersecare la r′ per ottenere V1*; dall'intersezione tra la parallela a t′α passante per V1* con la parallela alla r′ passante per V1′ otterremo infine il punto cercato (V1) (passo 37/55); ho usato la stessa notazione per indicare lo stesso vertice V1 ribaltato sia rispetto al piano ausiliario β sia rispetto al piano α.
Basta a questo punto considerare la congiungente tra (V1) e il centro (O) e il suo punto medio M2, da cui tracciare l'arco per trovare i due punti di tangenza cercati (U) e (T) ribaltati sul PO (passo 42/55); riportiamo con il metodo consueto, servendoci del piano ausiliario, tali punti in prima proiezione e successivamente anche in seconda proiezione sul PV (passi dal 49/55 al 43/55), ottenendo quindi T″ e U″. Basta collegare tali punti di tangenza con V″ per completare la rappresentazione sul piano verticale PV del cono (vedi passo 54/55).