Proiezioni ortogonali di un ottaedro

L'ottaedro è un solido che fa parte della ristretta famiglia dei poliedri regolari, detti anche solidi platonici, perchè anche il famoso filosofo greco si occupò di studiarli. Il solido in questione è formato da otto facce triangolari equilatere, dodici spigoli uguali e sei vertici.
Nelle proiezioni ortogonali, esso viene solitamente rappresentato in due posizioni diverse: con uno dei vertici poggiante sul Piano Orizzontale e con l'asse passante per questo vertice ed il suo opposto perpendicolare al PO; oppure con una delle sue facce coincidente con il suddetto piano orizzontale di proiezione. Quest'ultima è la posizione che ho scelto per rappresentare il solido in questo esercizio.
In questo caso iniziamo a costruire un esagono sul piano orizzontale PO, i cui vertici sono la prima proiezione dei vertici del solido sul piano orizzontale anzidetto (passo 2,3/29 del file multipagina); se infatti immaginiamo di rappresentare il solido con una delle sue facce poggiante sul PO, i suoi vertici coincideranno con quelli di un esagono (apparente) i cui lati sono le prime proiezioni degli spigoli del solido che non appartengono alla faccia inferiore coincidente col PO e alla faccia superiore ad essa parallela ed opposta; tali spigoli sono dunque inclinati rispetto al piano orizzontale.
Dal momento che i vertici del solido sono soltanto sei, basta trovare l'altezza dei tre vertici A, B, C, che appartengono alla faccia superiore del solido la quale risulta parallela ed opposta alla faccia inferiore coincidente col piano orizzontale, già citata precedentemente. Gli altri tre vertici E, F, D, hanno altezza pari a zero.
Per trovare tale altezza h, basta ribaltare sul PO la faccia di estremi A, E, D, facendola ruotare attorno al suo spigolo di base di estremi E, D (vedi passo 6/29). Dopo il ribaltamento i vertice A coinciderà sul PO nel punto P. Tale movimento di rotazione del vertice A descrive un arco appartenente ad un piano β perpendicolare al PO e passante per il vertice A medesimo; se immaginiamo di ribaltare il piano β sul PO dopo la sua rotazione attorno alla sua prima traccia (t′β), possiamo rappresentare sul PO tale movimento di rotazione del vertice A attraverso l'arco di centro M e di estremi P e Q, ovvero fino alla intersezione con la perpendicolare passante per A′ (passo 9,10/29 del pdf multipagina). L'altezza h dei vertici A, B, C, sarà dunque la distanza tra il punto Q così individuato e il vertice A′.
Riportata tale altezza nei due piani principali PV e PL (passo 11/29), sarà facile individuare la seconda e terza proiezione dei vertici A, B, C. Per rappresentare anche gli spigoli del solido su tali piani di proiezione, basta considerare gli stessi collegamenti tra i vertici già rappresentati nella prima proiezione sul PO (passo 16/29 e successivi), tenendo conto che alcuni spigoli non saranno direttamente in vista e che pertanto andranno rappresentati con linea tratteggiata.
Puoi scaricare il file .pdf se intendi seguire con maggiore agevolezza tutta la sequenza della costruzione, dall'inizio alla fine del disegno.