Proiezioni ortogonali di una piramide e un prisma compenetrati

Gli esercizi dedicati alle proiezioni ortogonali di solidi che si intersecano compenetrandosi reciprocamente, costituiscono sempre una buona occasione per migliorare le proprie capacità nel capire le relazioni spaziali tra forme tridimensionali. Quando due solidi si compenetrano vicendevolmente, si genera sempre una linea di intersezione, formata da una spezzata semplice o mista (con tratti curvi) che si sviluppa talvolta su un unico piano e talvolta (caso più frequente) su più piani. In quest'ultimo caso si tratta di una spezzata tridimensionale, sviluppandosi nello spazio 3D su piani diversi.
Nell'esercizio preso in considerazione si deve sostanzialmente trovare la linea di intersezione tra le facce di due solidi elementari che si compenetrano: una piramide con la base quadrata poggiante su PO e un prisma a base esagonale con una faccia laterale poggiante sempre su PO. Ti consiglio di scaricare il file pdf multipagina nel quale troverai tutti i passaggi in sequenza per lo svolgimento dell'esercizio.
Per poter rappresentare correttamente sul piano orizzontale di proiezione il suddetto prisma ho definito innanzitutto le dimensioni e la posizione della base esagonale appartenente ad un piano α perpendicolare a PO ed inclinato di 60° rispetto a PV. Conviene disegnare prima la base ribaltata su PO (passo 2/17 del pdf multipagina) per poter facilmente ricostruire la prima proiezione del solido sul piano orizzontale di proiezione. Dopo aver rappresentato nei due piani principali il prisma, si rappresenta in prima proiezione la piramide, definendo posizione e dimensioni della base e dell'altezza. In questa prima fase dell'esercizio rappresentiamo i due solidi come se fossero indipendenti. In una fase successiva, quando saranno definiti i vertici di questa linea di intersezione, alcuni tratti degli spigoli dei due solidi verranno correttamente rappresentati con una linea tratteggiata poiché non direttamente in vista.
Possiamo procedere individuando innanzitutto i due vertici della spezzata generati dall'intersezione tra i due spigoli della piramide (V,P e V,Q) con la faccia superiore del prisma esagonale di vertici C, B, H, I. Si possono facilmente trovare in seconda proiezione (su PV) questa intersezioni, poiché la faccia superiore longitudinale del prisma è in scorcio totale: troveremo i punti T″ e U″, che riporteremo anche in prima proiezione attraverso le rette di richiamo che intersecheranno le prime proiezioni degli spigoli suddetti della piramide, determinando anche T′ e U′ (passo 12/17 del pdf multipagina). Dal momento che la faccia superiore del prisma è parallela a PO e quindi anche alla base quadrata della piramide, gli altri due tratti della linea di intersezione dovranno essere paralleli ai lati della base suddetta. In tal modo ritroveremo anche i vertici K′ e W′ tracciando dai vertici precedentemente trovati T′ e U′ le parallele ai lati P,S e Q,R della base medesima. K″ e W″ si troveranno facilmente in seconda proiezione tracciando le rette di richiamo fino ad intersecare lo spigolo di vertici C″I″ (passo 13/17 del pdf).
Dobbiamo adesso individuare altri due vertici di questa linea spezzata che rappresenta la linea di intersezione tra le superfici dei due solidi, prendendo in considerazione lo spigolo D,L del prisma. Questo spigolo deve necessariamente attraversare le due facce triangolari opposte della piramide, di vertici V,S,P e V,Q,R. Considerando che lo spigolo D,L del prisma appartiene ad un piano β parallelo al PO, troveremo prima in seconda proiezione i punti 1″ e 2″ di intersezione tra il piano β e i due spigoli di vertici V″,S″ e V″,R″, e successivamente, dopo aver determinato la prima proiezione 1′ e 2′, tracciando da questi ultimi le parallele ai lati P,S e Q,R della base della piramide, individueremo in prima proiezione i due vertici cercati X′ e Y′, che saranno quindi riportati anche su PV (passo 14/17).
Troveremo infine gli ultimi due vertici della linea si intersezione tra le superfici dei due solidi nei punti J′ e Z′ ottenuti in prima proiezione dalla intersezione degli spigoli della base della piramide di vertici S′,P′ ed R′,Q′ con lo spigolo longitudinale del prisma di vertici E′,M′ (passo 16/17). Tracciando le rette di richiamo dai punti J′ e Z′ fino alla LT individueremo anche le seconde proiezioni di tali vertici.